Принцип суперпозиции полей в векторном виде. Принцип суперпозиции электрических. Принцип суперпозиции полей

При?нцип суперпози?ции - один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть просто сумма результатов воздействия каждой из сил.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что электростатический потенциал, создаваемый в данной точке системой зарядов, есть сумма потенциалов отдельных зарядов.

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые, подчеркнём, полностью эквивалентны приведённой выше:

Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.

Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Именно линейность фундаментальной теории в рассматриваемой области физики есть причина возникновения в ней принципа суперпозиции.

Принцип суперпозиции является следствием, прямо вытекающим из рассматриваемой теории, а вовсе не постулатом, вносимым в теорию априори. Так, например, в электростатике принцип суперпозиции есть следствие того факта, что уравнения Максвелла в вакууме линейны. Именно из этого следует, что потенциальную энергию электростатического взаимодействия системы зарядов можно легко сосчитать, вычислив потенциальную энергию каждой пары зарядов.

Другим следствием линейности уравнений Максвелла является тот факт, что лучи света не рассеиваются и вообще никак не взаимодействуют друг с другом. Этот закон можно условно назвать принципом суперпозиции в оптике.

Подчеркнём, что электродинамический принцип суперпозиции не есть незыблемый закон Природы, а является всего лишь следствием линейности уравнений Максвелла, то есть уравнений классической электродинамики. Поэтому, когда мы выходим за пределы применимости классической электродинамики, вполне стоит ожидать нарушение принципа суперпозиции.

напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженности полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов. Пусть имеется N точечных зарядов разных знаков, расположенных в точках пространства, с радиус-векторами r i . Требуется найти поле в точке с радиус-вектором r o . Тогда, так как r io = r o - ri , то результирующее поле будет равно:

35. Поток вектора напряженности электрического поля.

Число линий вектора E, пронизывающих некоторую поверхность S, называется потоком вектора напряженности N E .

Для вычисления потока вектора E необходимо разбить площадь S на элементарные площадки dS, в пределах которых поле будет однородным

Поток напряженности через такую элементарную площадку будет равен по определению

Где α - угол между силовой линией и нормалью к площадке dS; - проекция площадки dS на плоскость, перпендикулярную силовым линиям. Тогда поток напряженности поля через всю поверхность площадки S будет равен

Так как то где - проекция вектора на нормаль и к поверхности dS.

Еще по теме Принцип суперпозиции полей.:

1. 1) Напряженность – сила, с которой поле действует на малый положительный заряд, внесенный в это поле.
2. Теорема Остроградского - Гаусса для вектора напряженности электрического поля.
3. Вектор поляризованности. Связь вектора поляризованности с плотностью связанных зарядов.
4. 1. Взаимодействие зарядов. Закон Кулона. Эл-ст.поле. Напр-ть поля. принцип суперпозиции полей и его применение к расчету полей системы точечных з-в. Линии напр-ти. Теорема Остр-Гаусса и применение его к расчету полей.

Полей. Поле диполя

Рассмотрим метод определения модуля и направления вектора напряженности Е в каждой точке электростатического поля, создаваемого системой неподвижных зарядов Q 1 , Q 2 ,…, Q n .

Опыт показывает, что к кулоновским силам применим рассмотренный в механике принцип независимости действия сил (см. § 6), т. е. результирующая сила F, действующая со стороны поля на пробный заряд Q 0 равна векторной сумме сил F i , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q;.

Согласно (79.1), F = Q 0 E и F 1 = Q 0 E 1 , где Е - напряженность результирующего поля, а Е 1 - напряженность поля, создаваемого зарядом Q 1 . Подставляя последние выражения в (80.1), получаем

(80.2)

Формула (80.2) выражает принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции применим для расчета электростатического поля электрического диполя. Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+Q, - Q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Вектор, направленный по оси диполя (прямой, проходящей через оба заряда) от отрицательного заряда к положи тельному и равный расстоянию между ними, называется плечом диполя l. Вектор

(80.3)

совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению заряда |Q|на плечо 1, называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом (рис. 122).

где Е + и Е_ - напряженности полей, создаваемых соответственно положительным и отрицательным зарядами. Воспользовавшись этой формулой, рассчитаем напряженность поля в произвольной точке на продолжении оси диполя и на перпендикуляре к середине его оси.

Как видно из рисунка, напряженность поля диполя в точке А направлена по оси диполя и по модулю равна

Обозначив расстояние от точки А до середины оси диполя через г, на основании формулы (79.2) для вакуума можно записать

Согласно определению диполя, l /2 ≪ г, поэтому

2. Напряженность поля на перпендикуляре, восставленном к осям из его середины, в точке В (рис. 123). Точка В равноудалена от зарядов, поэтому

где г" - расстояние от точки В до середины плеча диполя. Из подобия равнобедренных треугольников, опирающихся на плечо диполя и вектор Е в, получим

(80.5)

Подставив в выражение (80.S) значение (80.4), получим

Вектор E g имеет направление, противоположное вектору электрического момента диполя (вектор р направлен от отрицательного заряда к положительному).

Теорема Гаусса для электростатического

Поля в вакууме

Вычисление напряженности поля системы электрических зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно значительно упростить, используя выведенную немецким ученым К. Гауссом (1777-1855) теорему, определяющую поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность.

В соответствии с формулой (79.3) поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность радиуса r, охватывающую точечный заряд Q, находящийся в ее центре (рис. 124), равен

Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Действительно, если окружить сферу (рис. 124) произвольной замкнутой поверхностью, то каждая линия напряженности, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если замкнутая поверхность произвольной формы охватывает заряд (рис. 125), то при пересечении любой выбранной линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее.

Нечетное число пересечений при вычислении потока в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток считается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, входящих в поверхность. Бели замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, входящих в поверхность, равно числу линий напряженности, выходящих из нее.

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд Q, поток вектора Е будет равен Q/e 0 , т. е.

(81.1)

Знак потока совпадает со знаком заряда Q.

Рассмотрим общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции (80.2) напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е, полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Поэтому

Согласно (81.1), каждый из интегралов, стоящий под знаком суммы, равен Q i /e 0 . Следовательно,

(81.2)

Формула (81.2) выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e 0 . Эта теорема выведена математически для векторного поля любой природы русским математиком М. В. Остроградским (1801-1862), а затем независимо от него применительно к электростатическому полю - К. Гауссом.

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью p = dQ/dV, различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, охватывающей некоторый объем V,

(81.3)

Используя формулу (81.3), теорему Гаусса (81.2) можно записать так:

Напряженность электрического поля. Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на заряд. Можно утверждать, что мы знаем о поле все, что нам нужно, если будем знать силу, действующую на любой заряд в любой точке поля.

Если поочередно помещать в одну и ту же точку поля небольшие заряженные тела и измерять силы, то обнаружится, что сила, действующая на заряд со стороны поля, прямо пропорциональна этому заряду. Действительно, пусть поле создается точечным зарядом Согласно закону Кулона (8.2) на заряд действует сила, пропорциональная заряду Поэтому отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля заряд, к этому заряду для каждой точки поля не зависит от юряда и может рассматриваться как характеристика поля. Эту характеристику называют напряженностью электрического поля. Подобно силе, напряженность поля векторная

величина. Ее обозначают буквой Е. Если помещенный в поле заряд обозначить через вместо то, по опрелсленню, напряженность равна:

Напряженность поля равна отношению силы, с которой поле действует на точечный заряд, к этому заряду.

Отсюда сила, действующая на заряд со стороны электрического поля, равна:

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, и противоположно направлению силы, действующей на отрицательный заряд.

Напряженность поля точечного заряда. Найдем напряженность электрического ноля, создаваемого точечным зарядом По закону Кулона этот заряд будет действовать на другой заряд с силой, равной:

Модуль напряженности поля точечного заряда на расстоянии от него равен:

Вектор напряженности в любой точке электрического поля направлен вдоль прямой, соединяющей эту точку и заряд, от заряда, если и к заряду, если (рис. 100).

Принцип суперпозиции полей. Если на тело действуют несколько сил, то согласно законам механики результирующая сила равна геометрической сумме сил:

На электрические заряды действуют силы со стороны электрического поля. Если при наложении полей от нескольких зарядов эти поля не оказывают никакого влияния друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Именно так и происходит на самом деле. Это означает, что напряженности полей складываются геометрически, так как согласно (8.9) напряженности прямо пропорциональны силам.

где = – вектор, по направлению совпадающий с нормалью к поверхности ( единичный вектор нормали к поверхности) и по модулю равный площади . Так как под интегралом стоит скалярное произведение векторов, то поток может получаться как положительным, так и отрицательным, в зависимости от выбора направления вектора . Геометрически поток пропорционален числу силовых линий, пронизывающих данную площадку (см. рис.2.3.1).

Теорема Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную

замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных

внутри этой поверхности, деленной на (в системе СИ)

В случае замкнутой поверхности вектор выбирают от поверхности наружу.

Таким образом, если силовые линии выходят из поверхности, поток будет положительным, а если входят, то – отрицательным.

Расчет электрических полей с помощью теоремы Гаусса.

В ряде случаев напряженность электрического поля по теореме Гаусса рассчи-

тывается достаточно просто. Однако в основе лежит принцип суперпозиции.

Поскольку поле точечного заряда является центрально-симметричным, то поле

центрально-симметричной системы зарядов также будет центрально-симметричным. Простейший пример – поле равномерно заряженного шара. Если распределение заряда обладает осевой симметрией, то и структура поля будет отличаться осевой симметрией. Примером может служить бесконечная равномерно заряженная нить или цилиндр. Если заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости, то силовые линии поля будут располагаться симметрично относительно симметрии заряда. Таким образом, указанный метод расчета применяют в случае высокой степени симметрии распределения заряда, создающего поля. Далее приведем примеры расчета таких полей.

Электрическое поле однородно заряженного шара.

Шар радиуса равномерно заряжен с объемной плотностью . Рассчитаем поле внутришара .

Система зарядов центрально-симметричная. В

качестве поверхности интегрирования выберем

сферу радиуса r (r <R ), центр которой совпадает

с центром симметрии заряда (см. рис.2.3.2). Рассчитаем поток вектора через эту поверхность.

Вектор направлен по радиусу. Так как поле

обладает центральной симметрией, то

значение Е будет одинаково во всех точках

выбранной поверхности. Тогда

Теперь найдем заряд, заключенный внутри выбранной поверхности

Отметим, что, если заряд распределен не по всему объему шара, а лишь по его поверхности (задана заряженная сфера ), то напряженность поля внутри будет равна нулю .

Рассчитаем поле вне шара см. рис. 2.3.3.

Теперь поверхность интегрирования полностью охватывает весь заряд шара. Теорема Гаусса запишется в виде

Учтем, что поле центрально симметричное

Окончательно для напряженности поля снаружи заряженного шара получим

Таким образом, поле вне равномерно заряженного шара будет иметь такой же вид, как для точечного заряда, помещенного в центре шара. Тот же результат получим и для равномерно заряженной сферы.

Проанализировать полученный результат (2.3.2) и (2.3.3) можно с помощью графика рис.2.3.4.

Электрическое поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра.

Пусть бесконечно длинный цилиндр заряжен равномерно с объемной плотностью .

Радиус цилиндра равен . Найдем поле внутри цилиндра , как функцию

расстояния от оси. Поскольку система зарядов имеет осевую симметрию,

поверхностью интегрирования мысленно выберем также цилиндр меньшего

радиуса и произвольной высоты , ось которого совпадает с осью симметрии задачи (рис.2.3.5). Рассчитаем поток через поверхность этого цилиндра, разбив его на интеграл по боковой поверх-

ности и по основаниям

Из соображений симметрии

следует, что направлен радиально. Тогда, так как силовые линии поля не пронизывают ни одно из оснований выбранного цилиндра,то поток через эти поверхности равен нулю. Поток вектора через боковую поверхность цилиндра запишется:

Подставим оба выражения в исходную формулу теоремы Гаусса (2.3.1)

После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического поля внутри цилиндра

В этом случае также, если заряд распределен только по поверхности цилиндра, то напряженность поля внутри равна нулю.

Теперь найдем поле снаружи заряженного цилиндра

Мысленно выберем в качестве поверхности, через которую будем рассчитывать поток вектора , цилиндр радиуса и произвольной высоты (см. рис. 2.3.6).

Поток запишется так же как и для внутренней области. А заряд, заключенный внутри мысленного цилиндра, будет равен:

После несложных преобразований получим выражение для напряженности электрического

поля снаружи заряженного цилиндра:

Если ввести в этой задаче линейную плотность заряда, т.е. заряд на единице длины цилиндра , то выражение (2.3.5) преобразуется к виду

Что соответствует результату, полученному с помощью принципа суперпозиции (2.2.14).

Как видим зависимости в выражениях (2.3.4) и (2.3.5) разные. Построим график .

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.

Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью . Силовые линии электрического поля симметричны относительно этой плоскости, а, следовательно вектор перпендикулярен заряженной плоскости. Мысленно выберем для интегрирования цилиндр произвольных размеров и расположим его как показано на рис.2.3.8. Запишем теорему Гаусса:) бывает удобно ввести скалярную характеристику изменения поля , называемую дивергенцией. Для определения этой характеристики выберем в поле малый объем вблизи некоторой точки Р и найдем поток вектора через поверхность, ограничивающую этот объем. Затем поделим полученную величину на объем и возьмем предел полученного отношения при стягивании объема к данной точке Р . Полученная величина называется дивергенцией вектора

. (2.3.7)

Из сказанного следует . (2.3.8)

Это соотношение носит название теорема Гаусса – Остроградского , оно справедливо для любого векторного поля.

Тогда из (2.3.1) и (2.3.8), принимая во внимание, что заряд, заключенный в объеме V, можно записать получим

или, так как в обеих частях уравнения интеграл берется по одному и тому же объему,

Это уравнение математически выражает теорему Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме.

Смысл операции дивергенция состоит в том, что она устанавливает наличие источников поля (источников силовых линий). Точки, в которых дивергенция не равна нулю, являются источниками силовых линий поля. Таким образом, силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.

Одна из задач, которые ставит электростатика перед собой – это оценка параметров поля при заданном стационарном распределении зарядов в пространстве. И принцип суперпозиции является одним из вариантов решения такой задачи.

Принцип суперпозиции

Предположим наличие трех точечных зарядов, находящихся во взаимодействии друг с другом. При помощи эксперимента возможно осуществить измерение сил, действующих на каждый из зарядов. Для нахождения суммарной силы, с которой на один заряд действуют два других заряда, нужно силы воздействия каждого из этих двух сложить по правилу параллелограмма. При этом логичен вопрос: равны ли друг другу измеряемая сила, которая действует на каждый из зарядов, и совокупность сил со стороны двух иных зарядов, если силы рассчитаны по закону Кулона. Результаты исследований демонстрируют положительный ответ на этот вопрос: действительно, измеряемая сила равна сумме вычисляемых сил согласно закону Кулона со стороны других зарядов. Данное заключение записывается в виде совокупности утверждений и носит название принципа суперпозиции.

Определение 1

Принцип суперпозиции :

• сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется, если присутствуют другие заряды;
• сила, действующая на точечный заряд со стороны двух других точечных зарядов, равна сумме сил, действующих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.

Принцип суперпозиции полей заряда является одним из фундаментов изучения такого явления, как электричество: значимость его сопоставима с важностью закона Кулона.

В случае, когда речь идет о множестве зарядов N (т.е. нескольких источников поля), суммарную силу, которую испытывает на себе пробный заряд q , можно определить по формуле:

F → = ∑ i = 1 N F i a → ,

где F i a → является силой, с которой влияет на заряд q заряд q i , если прочий N - 1 заряд отсутствует.

При помощи принципа суперпозиции с использованием закона взаимодействия между точечными зарядами существует возможность определить силу взаимодействия между зарядами, присутствующими на теле конечных размеров. С этой целью каждый заряд разбивается на малые заряды d q (будем считать их точечными), которые затем берутся попарно; вычисляется сила взаимодействия и в заключение осуществляется векторное сложение полученных сил.

Полевая трактовка принципа суперпозиции

Полевая трактовка : напряженность поля двух точечных зарядов есть сумма напряженностей, создаваемым каждым из зарядов при отсутствии другого.

Для общих случаев принцип суперпозиции относительно напряженностей имеет следующую запись:

E → = ∑ E i → ,

где E i → = 1 4 π ε 0 q i ε r i 3 r i → является напряженностью i -го точечного заряда, r i → - радиусом вектора, проложенного от i -го заряда в некоторую точку пространства. Указанная формула говорит нам о том, что напряженность поля любого числа точечных зарядов есть сумма напряженностей полей каждого из точечных зарядов, если другие отсутствуют.

Инженерная практика подтверждает соблюдение принципа суперпозиции даже для очень больших напряженностей полей.

Значимым размером напряженности обладают поля в атомах и ядрах (порядка 10 11 - 10 17 В м), но и в этом случае применялся принцип суперпозиции для расчетов энергетических уровней. При этом наблюдалось совпадение результатов расчетов с данными экспериментов с большой точностью.

Все же следует также заметить, что в случае очень малых расстояний (порядка ~ 10 - 15 м) и экстремально сильных полей принцип суперпозиции, вероятно, не выполняется.

Пример 1

Например, на поверхности тяжелых ядер при напряженности порядка ~ 10 22 В м принцип суперпозиции выполняется, а при напряженности 10 20 В м возникают квантово-механические нелинейности взаимодействия.

Когда распределение заряда является непрерывным (т.е. отсутствует необходимость учета дискретности), совокупная напряженность поля задается формулой:

E → = ∫ d E → .

В этой записи интегрирование проводится по области распределения зарядов:

• при распределении зарядов по линии (τ = d q d l - линейная плотность распределения заряда) интегрирование проводится по линии;
• при распределении зарядов по поверхности (σ = d q d S - поверхностная плотность распределения) интегрирование проводится по поверхности;
• при объемном распределении заряда (ρ = d q d V - объемная плотность распределения) интегрирование проводится по объему.

Принцип суперпозиции дает возможность находить E → для любой точки пространства при известном типе пространственного распределения заряда.

Заданы одинаковые точечные заряды q , расположенные в вершинах квадрата со стороной a . Необходимо определить, какая сила воздействует на каждый заряд со стороны других трех зарядов.

Решение

На рисунке 1 проиллюстрируем силы, влияющие на любой из заданных зарядов в вершинах квадрата. Поскольку условием задано, что заряды одинаковы, для иллюстрации возможно выбрать любой из них. Сделаем запись суммирующей силы, влияющей на заряд q 1:

F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → .

Силы F 12 → и F 14 → являются равными по модулю, определим их так:

F 13 → = k q 2 2 a 2 .

Рисунок 1

Теперь зададим направление оси О Х (рисунок 1), спроектируем уравнение F → = F 12 → + F 14 → + F 13 → , подставим в него полученные выше модули сил и тогда:

F = 2 k q 2 a 2 · 2 2 + k q 2 2 a 2 = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .

Ответ: сила, оказывающее воздействие на каждый из заданных зарядов, находящихся в вершинах квадрата, равна F = k q 2 a 2 2 2 + 1 2 .

Пример 3

Задан электрический заряд, распределенный равномерно вдоль тонкой нити (с линейной плотностью τ). Необходимо записать выражение, определяющее напряженность поля на расстоянии a от конца нити вдоль ее продолжения. Длина нити – l .

Рисунок 2

Решение

Первым нашим шагом будет выделение на нити точечного заряда d q . Составим для него, в соответствии с законом Кулона, запись, выражающую напряженность электростатического поля:

d E → = k d q r 3 r → .

В заданной точке все векторы напряженности имеют одинаковую направленность вдоль оси ОХ, тогда:

d E x = k d q r 2 = d E .

Условием задачи дано, что заряд имеет равномерное распределение вдоль нити с заданной плотностью, и запишем следующее:

Подставим эту запись в записанное ранее выражение напряженности электростатического поля, проинтегрируем и получим:

E = k ∫ a l + a τ d r r 2 = k τ - 1 r a l + a = k τ l a (l + a) .

Ответ: напряженность поля в указанной точке будет определяться по формуле E = k τ l a (l + a) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter