Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса (стержня) возникает только продольная (нормальная) сила. Считается, что внутренняя продольная сила действует вдоль оси стержня, перпендикулярно к его поперечным сечениям. Численные значения продольных сил N определяют по участкам, используя метод сечений, составляя уравнения равновесия суммы проекций на ось бруса (z) всех сил, действующих на отсечённую часть.
Рассмотрим (рис. 1.2, а) прямой брус постоянной толщины, закреплённый одним концом и нагруженный на другом конце силой Р , направленной вдоль его оси. Под действием закрепления и внешней силы Р брус растягивается (деформируется). При этом в закреплении возникает некоторое усилие, благодаря которому верхний край брусаостаётсянеподвижным. Это усилие называют реакцией закрепления на внешнюю нагрузку. Заменим влияние закрепления на стержень эквивалентно действующей силой. Эта сила равна реакции закрепления R (рис. 1.2, б).
Р и неизвестной пока реакции R-
При построении уравнений общего равновесия механики принято следующее правило знаков: проекция усилия на ось положительна, если её направление совпадает с выбранным направлением этой оси, проекция отрицательна, если направлена в противоположную сторону.
п-п (рис. 1.2, б). n-п нормальной силы N (рис. 1.2, в). Уравнение равновесия нижней отсечённой части бруса:
График изменения продольной силы вдоль оси бруса показан на рис. 1.2, г. График, показывающий изменение продольных сил по длине оси бруса, называется эпюрой продольных сил (эпюрой N ).
Пример. Построить эпюру внутренних нормальных сил, возникающих под действием трёх внешних сил (см. рис. 1.3): Р 1 =5 кН, P 2 = 8 кН, Р 3 , = 7 кН (см. рис. 1.3, а).
Используя метод сечений, определим значения внутренней силы в характерных поперечных сечениях бруса.
Уравнение равновесия нижней отсчетной части бруса:
сечение II-II
cечение I-I
сечение III-III
ƩZ= 0; -N+ Р 1 - Р 2 + Р 3 =0 или N=Р 1 -Р 2 + Р 3 =4 кН.
Строим эпюру нормальных сил (см. рис. 1.3,б)
Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью
Под действием двух внешних воздействий: известной силы Р и неизвестной пока реакции R- брус находится в равновесии. Уравнение равновесия бруса
При построении уравнений общего равновесия механики принято следующее правило знаков: проекция усилия на ось положительна, если её направление совпадает с выбранным направлением этой оси, проекция отрицательна, если направлена в противоположную сторону.
Мысленно разрежем стержень на две части по интересующему нас сечению п-п (рис. 1.2, б). Влияние на нижнюю часть верхней части представим действием на нижнюю часть в её верхнем торце п-п нормальной силы N (рис. 1.2, в). Уравнение равновесия нижней отсечённой части бруса
Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределённых по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью
здесь σ - нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dF; F- площадь поперечного сечения бруса.
Произведение σdF=dN представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.
Значение продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений. Для нахождения напряжений в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.
Проведём на боковой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 1.4, а).
Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса. При нагружении бруса осевой силой Р эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 1.4, б).
Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его
нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт
Рис. 1.4. Деформирование бруса
подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли).
Согласно гипотезе плоских сечений, все продольные волокна бруса растягиваются одинаково, значит их растягивают одинаковые по величине силы о dF = dN, следовательно, во всех точках поперечного сечения нормальное напряжение о имеет постоянное значение.
В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределённые нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения .
Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений . Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от неё лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ
КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ НИКИТЫ ДЕМИДОВА
Е. В. МЕЛЬНИКОВА
ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ СТЕРЖНЯ
ПРАКТИКУМ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ОСВАИВАЮЩИХ ПО ДНЕВНОЙ ФОРМЕ ОБУЧЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ: 220703 АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПРОИЗВОДСТВ (ПО ОТРАСЛЯМ); 151901 ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ; 051001 ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ; 150401 МЕТАЛЛУРГИЯ ЧЕРНЫХ МЕТАЛЛОВ
Тула, 2012
1 Аннотация 3
2 Теоретическое обоснование 4
3 Контрольные вопросы 5
4 Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил
и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения
стержня 7
5 Примеры решения задач на построение эпюр продольных сил
и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения
стержня 8
6 Анализ наиболее часто встречающихся ошибок. Методические
7 Индивидуальные варианты заданий для выполнения
8 Литература 13
Аннотация
Данное пособие составлено в соответствии с требованиями государственного стандарта для специальностей «Технология машиностроения», «Автоматизация технологических процессов и производств», «Литейное производство черных и цветных металлов» и содержит теоретическое обоснование по разделу «Деформации растяжения – сжатия»; методические рекомендации по решению задач; примеры построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчетов абсолютного удлинения стержня; вариантов заданий для выполнения практических работ.
Пособие позволяет выполнить практическую работу абсолютно самостоятельно, не используя учебники и справочную литературу , практически без консультаций преподавателя.
Теоретическое обоснование
Растяжением – сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.
Прямые брусья, работающие на растяжение – сжатие, называются стержнями.
Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.
Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений, т. е. она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.
Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.
Правила построения эпюр продольных сил:
1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.
2 В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т. е. направлена от сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т. е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.
3 Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.
4 Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.
При растяжении – сжатии в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Если они по длине бруса не постоянны, то строят эпюру «s». При этом используют две гипотезы:
1 Гипотеза Бернулли – сечения плоские и нормальные к продольной оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными и после деформации.
2 Принцип Сен – Венана.
Распределение напряжений зависит от способа приложения внешних сил лишь в местах, близких к месту расположения сил. На участках, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений зависит лишь от статического эквивалента этих сил, а не от способа приложения.
Правила построения эпюр нормальных напряжений:
1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и сечения, где меняется площадь.
2 На каждом участке вычисляем нормальные напряжения по формуле
3 Строим эпюру нормальных напряжений, по которой определяем опасное сечение. При растяжении – сжатии опасным является сечение, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.
При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии – наоборот.
∆l = l – l0 - абсолютное удлинение.
e = --- - относительное удлинение или продольная деформация.
Закон Гука при растяжении – сжатии: для большинства конструкционных материалов в известных пределах нагружения продольная деформация прямо пропорциональна нормальным напряжениям.
Е – модуль упругости первого рода, величина, постоянная для каждого материала, характеризует жесткость материала, измеряется в тех же единицах, что и напряжение.
Величина абсолютного удлинения вычисляется по формуле Гука:
Контрольные вопросы
1 Какой вид деформации называется растяжением – сжатием?
2 Какие напряжения возникают в поперечных сечениях детали, и как они распределяются по сечению?
3 Для чего строятся эпюры продольных сил и нормальных напряжений?
4 Где проходят границы участков на эпюрах продольных сил и нормальных напряжений?
5 Как определяется величина продольной силы на каждом участке эпюры?
6 Как определяется величина нормального напряжения на каждом участке?
7 Как определяется знак продольной силы и нормального напряжения?
8 В каком случае деталь или участок детали испытывают деформации растяжения, в каком – сжатия?
9 Где находится опасное сечение детали при растяжении – сжатии?
10 Что называется абсолютным удлинением?
11 Что называется относительным удлинением?
12 Сформулируйте закон Гука при растяжении – сжатии.
13 Какой формулой выражается закон Гука при растяжении – сжатии?
14 Что такое модуль упругости первого рода?
15 Напишите формулу Гука.
Если ответы на контрольные вопросы не вызвали у Вас затруднений, это свидетельствует о том, что Вы достаточно хорошо усвоили теоретический материал. Далее внимательно ознакомьтесь с алгоритмом решения задач на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня, рассмотрите примеры решения задач и приступайте к выполнению практической работы.
УСПЕХОВ И ОТЛИЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ!!!
Индивидуальные варианты заданий к практической работе прилагаются в конце данного пособия.
Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил и
нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня
1 Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры продольных сил. Границы участков провести в сечениях, где приложены внешние силы.
2 На каждом участке вычислить продольную силу методом сечений.
3 Отложить полученные значения и построить эпюру продольных сил. Правильность построения контролируется следующим образом: в сечениях, где к стержню приложены внешние силы, на эпюре продольных сил есть «скачки», численно равные этим силам.
4 Разбить нулевую линию на участки для построения Эпюры нормальных напряжений. Границами участков являются сечения, в которых меняется площадь и приложены внешние силы.
5 На каждом участке вычислить нормальное напряжение по формуле
В эту формулу значение продольной силы подставляется с эпюры продольных сил с учетом знака, а значение площади - с чертежа.
6 Отложить полученные значения и построить эпюру нормальных напряжений. По эпюре определить опасное сечение детали. Опасными являются сечения участка, на котором нормальные напряжения наибольшие.
7 Для каждого участка на эпюре нормальных напряжений рассчитать абсолютное удлинение по формуле Гука. В эту формулу значение продольной силы подставляют с эпюры продольных сил с учетом знака; значения длины участка и площади сечения – с чертежа детали.
8 Определить суммарную величину абсолютного удлинения для всей детали в целом. Для этого нужно найти алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех участков. При этом если суммарная величина положительна – стержень удлинился, если отрицательна – стержень укоротился.
https://pandia.ru/text/78/131/images/image002_67.jpg" width="683" height="871 src=">
Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.
Раздел «Растяжение – сжатие» в целом, и непосредственно решение задач подобного типа не является самым сложным в разделе «Сопротивление материалов», но, в то же время, при решении задач студентами встречается и немало трудностей. Наиболее часты следующие ошибки:
1 Неверные расчеты из – за незнания формул или их неверного применения.
Чтобы избежать подобных ошибок, прежде чем приступать к решению задач, необходимо выучить теорию деформации растяжения – сжатия, а также формулы расчета нормальных напряжений и формулу Гука.
2 Неправильно разбиты на участки нулевые линии при построении эпюр.
Следует помнить, что на эпюре продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на эпюре нормальных напряжений – в точках приложения внешних сил и в сечениях, где меняется площадь стержня.
3 При построении эпюры продольных сил неправильно определен знак продольной силы.
Правило знаков следующее: если внешняя сила направлена от сечения, т. е. растягивает оставленную часть стержня – продольная сила положительна; если внешняя сила направлена к сечению, т. е. сжимает оставленную часть стержня – продольная сила отрицательна.
4 Неправильно подставлены значения в формулу нормальных напряжений.
Чтобы правильно подставить значения в формулу нормальных напряжений, нужно с участка эпюры напряжений, для которого ведется расчет, подняться на эпюру нормальных сил и посмотреть, каково значение продольной силы именно на этом участке. Затем подняться на чертеж детали и посмотреть, какова площадь сечения стержня именно на этом участке.
5 Неправильно рассчитаны значения нормальных напряжений из – за неправильного перевода единиц измерения величин, входящих в формулу напряжений.
Чтобы получить значение напряжений в мегапаскалях, в формулу нормальных напряжений продольную силу подставляют в Ньютонах, площадь сечения – в миллиметрах квадратных. Продольную силу также подставляют в формулу с учетом знака.
6 Неправильно рассчитано значение абсолютного удлинения из – за неправильной подстановки значений в формулу Гука.
При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука продольную силу следует подставлять с эпюры продольных сил, а величину площади сечения и длины данного участка – с чертежа детали.
7 В формулу нормальных напряжений и формулу Гука вместо продольных сил подставлено значение внешних сил.
Следует помнить, что напряжение – это величина внутреннего усилия, приходящегося на единицу площади. Поэтому в формулу нормальных напряжений и в формулу Гука следует подставлять значение продольной силы для данного участка.
Задание к практической работе
Для заданной схемы нагружения построить эпюру продольных сил, эпюру изгибающих моментов, рассчитать абсолютное удлинение стержня.
Литература
1 Руководство к решению задач по теоретической механике, М.: - «Высшая школа», 2002
2 , Детали машин – М.: «Высшая школа», 2001
Возникающие в различных поперечных сечениях стержня, неодинаковы, закон их изменения по длине стержня представляется в виде графика N(z), называемого эпюрой продольных сил . Эпюра продольных сил необходима для оценки стержня и строится для того, чтобы найти опасное сечение (поперечное сечение, в котором продольная сила принимает наибольшее значение ).
Как строить эпюру продольных сил?
Для построении эпюры N используется . Продемонстрируем его применение на примере (рис. 2.1).
Определим продольную силу N, возникающую в намеченном нами поперечном сечении .
Разрежем стержень в этом месте и мысленно отбросим нижнюю его часть (рис. 2.1, а). Далее мы должны заменить действие отброшенной части на верхнюю часть стержня внутренней продольной силой N.
Для удобства вычисления ее значения закроем рассматриваемую нами верхнюю часть стержня листком бумаги. Напомним, что N, возникающее в поперечном сечении, можно определить как алгебраическую сумму всех продольных сил, действующих на отброшенную часть стержня, то есть на ту часть стержня, которую мы видим.
При этом применяем следующее : силы, вызывающие растяжение оставленной части стержня (закрытой нами листком бумаги) входят в упомянутую алгебраическую сумму со знаком «плюс», а силы, вызывающие сжатие – со знаком «минус».
Итак, для определения продольной силы N в намеченном нами поперечном сечении необходимо просто сложить все внешние силы, которые мы видим. Так как сила кН растягивает верхнюю часть, а сила кН ее сжимает, то кН.
Знак «минус» означает, что в этом сечении стержень испытывает сжатие.
Можно найти опорную реакцию R (рис. 2.1, б) и составить уравнение равновесия для всего стержня, чтобы проверить результат.
